Breves notas introdutórias sobre simetria.

Nota prévia: 

O autor agradece o incentivo dos seus leitores, seja pelas mensagens ou comentários enviados, uma vez que tal feedback se tem traduzido em motivação para a escrita, ainda que nem sempre seja possível escrever com a periodicidade desejada.

Observe as seguintes imagens com atenção:

Notou alguma coisa em comum entre elas? Será ridículo dizer que, à vista desarmada, todas elas possuem um elemento em comum?

Uma ajuda: Consegue encontrar, nestas imagens, uma parte do objecto que, repetida vezes suficientes, possa descrever o objecto completo?

Pois bem, ao reconhecimento desses padrões de repetição denominamos por simetria. Pode parecer ridículo, mas a simetria é algo extraordinariamente importante, de grande uso quer na Natureza, quer na vida comum do ser humano.

Já reparou na mesa redonda? Já reparou que, quando pensa em colocar a mesa, pensa em termos de colocar todos os elementos que compõem o serviço de mesa do modo mais simétrico possível? Tenta sempre fazer com que a disposição do convidado sentado num banco seja idêntica ao que fica ao lado ou em frente ao mesmo. Quando não consegue isso, fica com uma sensação de ‘mesa mal-posta, feia’. Sim, a nossa mente reage e percepciona o conceito de simetria de modo quase inconsciente. Já reparou como as suas mãos são a imagem ao espelho uma da outra, uma espécie de ‘imagem invertida’? Que reconhece que há objectos que consegue usar com a mão direita que são quase impossíveis de usar com a esquerda? Ou os padrões lindíssimos das flores, dos mosaicos, das couves-romanescas, do floco de neve?

Tudo isso são exemplos de simetria. Mas que aplicações tem a simetria, afinal?

Uma das grandes vantagens da simetria prende-se, por exemplo, com a capacidade de compressão de dados. Uma estrutura simétrica é muito mais facilmente descrita do que uma estrutura não simétrica. Pese o exemplo de uma estrela de papel: Se tiver a menor representação, ou seja, o padrão mais pequeno, que permite descrever o objecto – denominemos isso por representação irredutível –  e se soubermos quantas vezes esse padrão se repete, podemos construir o objecto na sua totalidade. Em contrapartida, se pegar numa pintura de Van Gogh, por exemplo, “A Noite Estrelada”, ser-lhe-á impossível reproduzir a mesma utilizando a técnica anterior – ou seja, a representação irredutível deste objecto é o próprio objecto!

Portanto, uma vantagem da simetria é que permite que a informação seja comprimida, no sentido em que com um pequeno conjunto de regras, é possível construir todo um sistema a partir da representação irredutível do mesmo.

Mas será que a simetria monótona? Ou seja, será que o ‘igual a si mesmo’ é só aplicável a uma situação muito restrita, como o caso das estrelas?

Atente na seguinte figura:

Certamente já viu este padrão de espiral em algum lado! Não? Pense na última flor que foi devorada por esta adorável criatura:

Já reparou em como o formato do enrolamento da casca é parecido com a curva acima descrita? Infelizmente, desta vez, em vez de induzir o seu pensamento, vou fazer batota e introduzi-lo ao extraordinário trabalho de Fibonacci e de um número muitas vezes ofuscado pela grandiosidade de outro número que conhecemos como π – o número de ouro, designado por φ.

A imagem seguinte explica como construir uma espiral de Fibonacci:

Agora a questão mais interessante: Será que a simetria é “estática”? Isto é, será que só faz sentido para fazer desenhos bonitinhos que não envolvam movimento? Haverá uma aplicação dinâmica para a simetria?

Os amantes de filmes de ficção científica talvez já se tenha cruzado com o seguinte personagem, do filme Interstellar:

Talvez a imagem seguinte explique algumas coisas que parecem irrealistas no filme, do ponto de vista de engenharia.

Como podem ver, a simetria possui implicações bem mais profundas do que aquelas que transparecem à primeira vista.

Assim, e como resumo, devemos reter os seguintes conceitos importantes:

  • Representação irredutível – a mínima quantidade de informação que permite descrever todo um objecto quando se aplica uma:
  • Operação de simetria – ou seja, o processo através do qual se pega na representação irredutível e se constrói o objecto em questão.

Com base nestes dois conceitos, é possível aprofundar o estudo da simetria.

 

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